嫌咱们理科生不行浪漫？你有一份音乐数学入门攻略待查收
某天小编闲来无事阅读本年的高考题，全国卷II文科数学一道与钢琴相关的题成功引起了我的留意。咱们总觉得咱们理科生不明白浪漫，这道题看起来能够替咱们评评理。
作为理科生，看到数学题天然是很兴奋地先解题，罗列法能够很简略粗犷地给出答案：
发现原位大三和弦和原位小三和弦在一组音中一共有10种状况，所以答案选C，你做对了吗？
做完题小编不由开端考虑音乐背面的物理和数学原理，为什么钢琴一组音有7个白键5个黑键，和弦为什么是这样摆放的？
什么是声响？
初中物理中咱们就学过声响是由振荡发生的声波，能够经过介质（空气、固体或液体）以波的方式传达被人耳或许其它接收器感知。在天然界中能为人的听觉所感触到的音是十分多的，人耳能辨认频率在20Hz~20000Hz的声响，但并不是一切的声响都能作为音乐的资料。那么什么样特别的声响能够用来搞音乐呢？
咱们知道声响有凹凸、强弱、长短、音色等四种性质。振荡发声就会发生必定的频率(Hz)，对应的就是音高，而其传达的能量巨细对应的是音强(dB)。因为发声体资料特性不同，会发生不同的音色，音色是一个比较形而上学杂乱的东西，它与发声体的性质、形状及其泛音的多少有关，比方二胡和钢琴弹拨同一个音给人的体会是彻底不同的，比方班主任和小芳喊你姓名给你的感觉也是不同的。
音强、音高、音色能够经过音频图画展现出来，音强对应的是其振幅巨细，与弹拨乐器的力度有关；音高对应的是频率凹凸，一般状况下乐音是固定频率的；而音色是伴跟着主音高一些附加的频率，与乐器的品种、原料、状况等有关。
音频图画（图源：QIPOST《鋼琴音色的物理學》）
并不是一切的声响都好听，好听的是乐音，不好听的是噪音，可是萝卜青菜各有所爱，怎么更规范地差异乐音和噪音呢？咱们能够简略地依据声响振荡状况的规矩与不规矩来界说乐音与噪音。在音乐中所运用的主要是乐音，并由一堆有规则的固定音高的音组成乐音体系。
乐音与噪声的波形图（图源：神州音响网）
乐音体系中的数学规则
乐音体系中的音，依照上行或下行次第摆放起来叫做音列。在规范调音下，钢琴这种频率固定、音域广泛的乐器成功引起了小编的留意，所以我去搜了一般钢琴八十八键的频率对照图，能够从中明显地看出乐音体系所运用的音和音列。
钢琴八十八键的频率对照图 （图源：CSDN《根底乐理和钢琴》）
从中咱们能够发现第n个键所对应的频率为：
这儿运用的频率核算方法就是大名鼎鼎的十二均匀律。从表中能够发现频率比为整数倍的两个音具有相同的音名（现代音乐用字母CDEFGAB来符号），两个相邻的具有相同音名的音音程相差八度。音程指两个音在音高上的相互联系，也能够理解为两个音频率的“间隔”。在十二均匀律中将八度的音“均匀”分为了十二个部分——半音。相邻半音之间的频率比等于一个常数：
十二均匀律早在古希腊便有人提出了，但并未加以科学的核算。世界上最早依据数学来拟定十二均匀律的是我国明朝大音乐家朱载堉（1584年）。
朱載堉：《乐律全书》
为什么是十二均匀律？或许咱们和小编都有这样的疑问，带着这样的问题咱们来一起讨论。
泛音与谐波的联系
相同音名频率之间的整数倍联系不得不让咱们想到了在物理学中谐波这个概念，谐波是指周期函数或周期性的波形中能用常数、与原函数的最小正周期相同的正弦函数和余弦函数的线性组合表达的部分，其频率是基频的整数倍，可经过傅里叶改换来得到。
“傅里叶”这三个字想必咱们都不生疏，如傅里叶改换、傅里叶积分、傅里叶级数、傅里叶剖析…不少理工科的同学为此饱尝摧残，并留下了心思暗影（这个暗影也能够进行傅里叶改换喔～），逃不掉的都是命运。
傅里叶改换是一种线性积分改换，用于信号在时域（或空域）和频域之间的改换，在物理学和工程学中有许多运用。因其根本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶体系地提出，所以以其姓名来命名以示留念。简略来说傅里叶改换就是将一个杂乱的波形拆开成一个个正弦波的组合，实际上傅里叶改换就像化学剖析，能够确认波的根本成分。
傅里叶改换将函数的时域（赤色）与频域（蓝色）相关联。（图源：维基百科）
在钢琴中弹响一个音，都不只仅一个音在响，而是许多音的结合，这种声响叫做复合音，复合音能够经过傅里叶剖析拆分红单音。复合音的发生是因为发音体（以弦为例）不只全段在振荡，它的各部分（二分之一、三分之一、四分之一等）也别离一起在振荡。由发音体全段振荡而发生的音叫做基音，也就是最易听见的声响，由发声体各部分分段振荡而发生的音叫做泛音，其实就是物理学上的谐波，基波频率2倍的音频称之为一次泛音，基波频率3倍的音频称之为二次泛音，以此类推。
谐振现象（图源：维基百科）
这些泛音是听觉不易听出来的，可是因为共振（在声学中亦称“共识”），能够在钢琴对应键的钢弦上观察到其振荡，这也是一个直观的傅里叶分化。共振指的是物体在特定频率下会比其他频率以更大的振幅做振荡，比方两个频率相同的音叉接近，其间一个振荡发声时，另一个也会发声。
它们与基音之间的音程以及频率比是固定的：音程是一个八度（频率比为2:1），然后是一个纯五度（频率比为3:2），等等。一件乐器的音色是由其泛音的份额决议的，泛音离不开基音，不然就是无本之木了，泛音和基音一起共识，才构成了饱满完好的音色。
十二均匀律与五度相生律的故事
因为复合音中的泛音与基音共处调和调和，依据复合音的第二分音和第三分音的纯五度（频率比为3:2）联系，即由某一音开端向上推一纯五度，发生次一概，再由次一概向上推一纯五度，发生再次一概，如此持续相生发生了五度相生律。
在此做一个简略的核算来推导五度相生律：
取一基音，以C为例，将其频率f乘上3/2，即升高彻底五度得下一音G。
将G升高彻底五度得下一音D，D之频为(3f/2)*(3/2)=9f/4，高于原基准音之倍频，故将其除二，即降八度得9f/8。
将D升高彻底五度得下一音A，A之频为(9f/8)*(3/2)=27f/16。
将A升高彻底五度得下一音E，E之频为(27f/16)*(3/2)=81f/32，高于原基准音之倍频，故将其降八度得81f/64。
将E升高彻底五度得下一音B，此刻B之频为(81f/64)*(3/2)=243f/128。
假设有一音升高彻底五度再降八度后为基准音C，可得此音之频为4f/3，此即为F。
依上法可得七声响阶，收拾可得下表：
因为
(m, n为正整数)，跟着纯五度的演进最终得到的音无法复原闭合，造成了音乐律学上的困难与退让。而且五度相生律决议的音程之间频率比不一致，尽管大部分五度之间的音听起来是十分调和的，但也有一部分不调和的音存在。由五度相生律确认的音也面临一大难题，就是在乐曲转调的时分听起来也会很别扭，这也是导致了人们企图寻觅其它的乐律。
音名与琴键的对应联系
跟着年代的开展，复调音乐（有两条及以上独立旋律）占了越来越多的比重，转调也因此变得愈加重要。为了处理转调的难题，作曲家们测验更优化的律法，十二均匀律锋芒毕露。十二均匀律将八度的音程按频率份额分红十二等份，让两个相邻半音的频率比等于一个常数，即2的1/12次方。因为它纯五度两个音的频率比
，人耳根本上听不出“五度相生律”和“十二均匀律”的五度音程的不同，由此十二均匀律在交响乐队和键盘乐器中得到广泛运用。
在钢琴中黑键与白键其实并无本质上的差异，音色彻底相同，相邻琴键间(j-i=1)的频率比都为2的1/12次方。白键是音的原型（天然中找得到的音），七个琴键构成根本音级（CDEFGAB），黑键是依据根本音级升高或下降一个半音而得到的音构成改变音级。因为黑键很规则的两个一组和三个一组摆放，咱们能够很方便地在钢琴中找到各个音的方位，钢琴小白也能够看着简谱演奏一段《小星星》。
和弦的来源
说到和弦，或许不少曾愿望仗剑走天边的少年都具有一把扑灰吉他，但弃于大横按，吉他配乐主要是由几个和弦构成，那么你们有想过和弦是什么吗？
小编的扑灰吉他
经过十二均匀律界说的现代钢琴，一组琴键由7个白键和5个黑键组成，已知相邻琴键之间的频率比：
依照和声响程（一起演奏的两个音构成和声响程）在听觉上所发生的形象，音程可分为协和和不协和两类。
协和音程望文生义是听起来动听、交融的音程。协和音程可分为三种（音程以第ai与aj个琴键来表明）：
极彻底协和音程：声响彻底合一的纯一度(j=i)和简直彻底合一的纯八度(j-i=12)彻底协和音程：声响适当交融的纯五度(j-i=7)和纯四度(j-i=5)不彻底协和音程：即很不交融的大三度(j-i=4)、小三度(j-i=3)、大六度(j-i=9)、小六度(j-i=8)。极彻底协和音程与彻底协和音程的特性是声响有点空，而不彻底协和音程的声响则较为饱满，可合作视频感触。
00:41
协和音程
不协和音程听起来比较尖锐，互相不是很交融，比方大二度(j-i=2)、小二度(j-i=1)、大七度(j-i=11)、小七度(j-i=10)。
00:20
不协和音程
正因为这些听起来调和的声响给人舒适放松的感觉，作曲家们便想办法将其组合起来，把它们依照三度（大三度(j-i=4)、小三度(j-i=3)）联系摆放起来的三个以上的音结合起来构成和弦。按三度音程联系构成的和弦，因为各音间坚持必定的严重度，音响和谐饱满，并符合泛音的天然规则，因此被广泛选用。
最终再回到这道标题上来，了解一下什么是原位大三和弦和原位小三和弦。原位和弦指以和弦的根音为低声（最低的音）的和弦，由三个音依照三度联系叠置起来的和弦叫做三和弦，在钢琴中的12个键顺次记为a1,a2,...,a12，设0<i<j<k<13 ，大三和弦中j-i=4 表明根音到三度音是大三度，k-j=3 表明三度音到五度音是小三度，k-i=7 表明根音到五度音是纯五度。同理，小三和弦中 j-i=3 表明根音到三度音是小三度，k-j=4 表明三度音到五度音是小三度， k-i=7 表明根音到五度音依然是纯五度。
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大三和弦与小三和弦
写完这些，小编不由看了看在角落落灰的烧火棍，依据今日所学的乐理常识，能够来一段单弦演奏～
参考资料：
[1] 李重光. 《音乐理论根底》
[2] 卓仁祥. 从文化史视点看十二均匀律的发现
[3] 五度相生律，维基百科
[4] 十二均匀律，维基百科
修改：小林绿子
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